Centuries by modulo 13#/(2*5) and number of “potential primes”

Ever since I first studied primes, it has been obvious to me that some centuries can have more “potential primes” than others. Based upon simply divisibility by 2, 3, and 5, it is obvious that centuries 100k to 100k+99 can have two more primes if k is of the form 3n+1 than if k is of the forms 3n or 3n+2. However, in the past few years I have learned much more. Firstly, although centuries of the form 3k+1 have 28 numbers not divisible by 2, 3 or 5 — and other centuries have 26 such numbers — it is impossible for there to be 28 primes in 100 numbers, because some of these 28 numbers will always be divisible by 7, 11, or 13. In fact, I learned a few years back that 26 primes in 100 numbers is completely impossible, and that the maximum possible number is no more than 23. So far, no century greater than 200 with 21 or more primes is yet known, and although it is strongly believed they do exist, it is known that the smallest after 199 must be greater than 10²³.

One interesting thing when searching for such centuries is that, if one groups them by moduli of the product of the next primes coprime to 10, one can reduce the number of “potential primes” beyond the crude calculations based upon moduli 3. I have recently experimented with moduli 21 (3*7) and 231 (3*7*11) and found that the maximum possible number of primes can be reduced further below 26 or 28. However, the data are difficult to tabulate like one can for the crude modulo 3 calculations that I absorbed as a child. Today, I have tabulated centuries modulo 3003 (3*7*11*13) to see:

1. what variation exists among moduli
2. what patterns one can see in the variations noted in 1)
3. how the patterns compare with observed prime counts in small centuries
4. how may primes ending in each digit [1, 3, 7, 9] are theoretically possible for each modulo 3003

Prime Counts mod(3003) — total and for each final digit

mod 3003	Total possible p	...1	...3	...7	...9
0	20	5	5	5	5
1	21	5	5	6	5
2	17	5	5	3	4
3	19	4	5	6	4
4	19	5	4	4	6
5	18	4	4	5	5
6	19	5	5	6	3
7	19	4	5	4	6
8	20	5	5	5	5
9	18	6	3	6	3
10	21	6	6	4	5
11	17	4	5	3	5
12	21	5	4	6	6
13	18	4	5	5	4
14	20	4	6	4	6
15	19	6	5	5	3
16	21	4	5	6	6
17	18	4	5	4	5
18	19	6	4	4	5
19	20	5	5	5	5
20	20	4	5	5	6
21	15	4	5	3	3
22	23	6	6	7	4
23	19	5	5	3	6
24	18	4	3	6	5
25	19	6	5	4	4
26	20	3	6	6	5
27	19	6	3	5	5
28	19	5	4	5	5
29	19	4	6	4	5
30	19	5	5	5	4
31	20	6	4	5	5
32	18	4	4	5	5
33	21	5	5	5	6
34	18	5	5	4	4
35	20	5	4	5	6
36	18	4	5	6	3
37	21	5	5	4	7
38	17	5	6	3	3
39	19	4	4	6	5
40	22	6	6	5	5
41	17	4	4	5	4
42	20	6	5	5	4
43	21	4	5	6	6
44	18	5	5	3	5
45	19	4	5	6	4
46	20	6	5	4	5
47	19	2	5	6	6
48	19	7	4	5	3
49	18	3	6	5	4
50	18	5	4	3	6
51	20	5	5	5	5
52	19	5	4	6	4
53	20	5	6	3	6
54	18	5	3	5	5
55	21	6	5	6	4
56	19	4	5	4	6
57	17	5	5	4	3
58	21	6	4	5	6
59	19	3	6	5	5
60	18	4	4	5	5
61	22	6	6	5	5
62	18	4	4	5	5
63	19	5	5	4	5
64	20	6	5	5	4
65	19	6	5	4	4
66	19	4	5	5	5
67	19	6	4	4	5
68	19	3	6	5	5
69	20	6	5	6	3
70	20	4	4	6	6
71	18	5	4	4	5
72	18	4	5	5	4
73	20	5	6	4	5
74	19	5	4	4	6
75	20	5	4	6	5
76	19	4	6	4	5
77	18	4	5	4	5
78	19	5	4	6	4
79	20	6	4	5	5
80	18	3	6	4	5
81	18	6	3	4	5
82	23	5	6	6	6
83	18	4	4	5	5
84	18	5	6	4	3
85	20	5	4	6	5
86	20	5	6	3	6
87	18	5	4	6	3
88	20	6	5	5	4
89	18	3	5	4	6
90	19	5	4	5	5
91	20	5	5	6	4
92	19	5	6	4	4
93	19	5	4	5	5
94	20	5	5	5	5
95	18	4	5	5	4
96	19	5	5	4	5
97	20	6	4	5	5
98	19	4	4	5	6
99	18	4	6	4	4
100	21	5	4	6	6
101	19	5	6	4	4
102	20	5	4	6	5
103	19	4	6	4	5
104	19	5	4	5	5
105	19	5	5	4	5
106	20	4	5	6	5
107	18	5	6	2	5
108	20	5	4	7	4
109	20	6	5	3	6
110	17	4	4	5	4
111	20	6	4	5	5
112	19	4	6	5	4
113	20	5	4	5	6
114	17	5	4	5	3
115	21	4	6	6	5
116	18	4	5	4	5
117	19	5	4	5	5
118	19	5	4	6	4
119	20	5	6	3	6
120	18	5	5	4	4
121	21	5	4	6	6
122	18	4	6	4	4
123	17	4	3	5	5
124	22	6	5	6	5
125	20	4	5	6	5
126	18	5	4	4	5
127	20	5	5	6	4
128	19	5	5	3	6
129	19	3	5	6	5
130	20	6	6	4	4
131	18	4	5	5	4
132	19	6	4	4	5
133	20	4	5	5	6
134	18	5	4	5	4
135	19	5	5	5	4
136	19	5	4	4	6
137	19	5	5	4	5
138	19	5	5	5	4
139	21	5	6	6	4
140	18	5	4	3	6
141	18	5	4	6	3
142	20	4	5	5	6
143	18	4	6	4	4
144	20	6	3	5	6
145	19	4	6	5	4
146	19	4	4	5	6
147	20	6	5	5	4
148	23	6	6	6	5
149	16	4	4	3	5
150	18	4	5	5	4
151	21	6	5	5	5
152	20	4	5	5	6
153	19	6	4	5	4
154	19	4	5	5	5
155	20	5	6	4	5
156	18	5	3	5	5
157	21	6	5	6	4
158	17	3	6	4	4
159	19	5	4	4	6
160	19	5	5	5	4
161	20	4	5	5	6
162	19	4	6	5	4
163	19	6	3	4	6
164	20	5	6	5	4
165	18	5	3	5	5
166	19	4	6	4	5
167	19	5	3	5	6
168	19	4	6	5	4
169	19	4	4	6	5
170	19	6	5	4	4
171	19	5	4	6	4
172	21	5	6	4	6
173	18	4	5	5	4
174	20	7	4	5	4
175	20	4	6	4	6
176	18	4	5	4	5
177	18	5	4	5	4
178	20	5	6	5	4
179	20	5	4	5	6
180	18	5	3	5	5
181	20	5	6	5	4
182	19	4	5	4	6
183	18	6	5	4	3
184	20	4	5	6	5
185	20	4	7	4	5
186	17	5	3	5	4
187	22	6	6	5	5
188	17	3	4	5	5
189	17	4	5	3	5
190	23	6	5	6	6
191	19	5	5	4	5
192	17	4	3	6	4
193	20	6	5	4	5
194	19	4	6	5	4
195	20	6	4	5	5
196	18	5	4	5	4
197	20	5	5	5	5
198	20	5	5	5	5
199	20	4	5	5	6
200	18	5	4	5	4
201	19	5	5	5	4
202	20	6	5	4	5
203	19	4	5	4	6
204	19	5	5	6	3
205	19	4	5	4	6
206	18	5	5	4	4
207	20	5	4	6	5
208	22	4	6	6	6
209	16	4	4	4	4
210	19	6	4	4	5
211	21	4	6	6	5
212	18	4	5	4	5
213	19	5	4	6	4
214	20	6	5	4	5
215	18	2	5	5	6
216	19	6	5	5	3
217	21	5	5	6	5
218	20	6	5	3	6
219	17	5	3	5	4
220	20	5	5	5	5
221	19	4	6	4	5
222	19	5	4	4	6
223	18	5	4	6	3
224	21	4	6	5	6
225	19	6	5	5	3
226	19	6	3	4	6
227	17	3	6	5	3
228	19	5	4	4	6
229	20	6	6	4	4
230	21	5	5	6	5
231	18	4	5	5	4
232	20	4	5	5	6
233	20	6	5	4	5
234	18	3	4	7	4
235	20	6	4	4	6
236	17	3	5	4	5
237	20	6	5	5	4
238	20	4	5	5	6
239	20	6	5	5	4
240	17	5	4	5	3
241	22	6	5	5	6
242	17	3	5	4	5
243	20	6	3	6	5
244	19	4	6	4	5
245	20	4	5	4	7
246	19	6	5	5	3
247	20	4	4	6	6
248	18	5	6	3	4
249	18	6	3	4	5
250	21	4	6	6	5
251	18	4	4	5	5
252	17	5	5	4	3
253	22	6	5	6	5
254	19	4	5	4	6
255	18	4	4	6	4
256	21	7	5	5	4
257	19	3	6	5	5
258	19	5	4	5	5
259	18	4	5	4	5
260	20	5	6	5	4
261	19	5	4	5	5
262	20	5	4	6	5
263	18	4	5	4	5
264	21	6	5	5	5
265	18	5	4	4	5
266	19	4	5	5	5
267	20	5	6	5	4
268	20	5	5	4	6
269	18	5	5	4	4
270	17	4	3	6	4
271	22	5	7	4	6
272	18	5	4	4	5
273	20	6	5	5	4
274	21	5	5	6	5
275	16	4	5	2	5
276	21	5	5	6	5
277	20	5	5	5	5
278	18	3	4	6	5
279	18	6	4	5	3
280	19	4	5	5	5
281	20	5	5	4	6
282	19	6	4	5	4
283	19	5	5	5	4
284	21	5	6	4	6
285	19	4	4	6	5
286	18	5	4	6	3
287	20	5	6	3	6
288	18	5	4	5	4
289	21	5	4	6	6
290	19	3	6	5	5
291	18	5	4	4	5
292	20	6	5	4	5
293	19	3	5	6	5
294	18	5	6	3	4
295	21	6	5	6	4
296	18	6	4	3	5
297	18	3	4	6	5
298	19	5	5	4	5
299	21	4	6	6	5
300	19	6	4	5	4
301	20	4	5	6	5
302	18	5	5	3	5
303	19	5	5	6	3
304	20	5	5	4	6
305	17	4	4	4	5
306	20	5	4	6	5
307	19	5	6	4	4
308	19	4	4	5	6
309	18	5	4	6	3
310	21	6	5	4	6
311	18	4	6	4	4
312	18	5	3	5	5
313	22	5	6	6	5
314	17	3	5	4	5
315	20	6	6	4	4
316	21	4	5	7	5
317	20	6	5	3	6
318	17	4	4	5	4
319	20	7	4	4	5
320	19	2	6	5	6
321	19	6	4	5	4
322	19	4	6	5	4
323	19	5	5	4	5
324	20	5	4	6	5
325	18	5	4	5	4
326	19	4	6	4	5
327	20	5	4	5	6
328	21	6	5	5	5
329	18	4	4	5	5
330	18	5	6	4	3
331	20	5	3	5	7
332	18	4	5	5	4
333	20	5	4	6	5
334	21	5	6	5	5
335	17	5	3	4	5
336	19	4	5	5	5
337	21	5	6	5	5
338	19	6	6	3	4
339	19	5	4	6	4
340	19	5	5	4	5
341	18	3	5	5	5
342	21	7	4	6	4
343	19	4	5	5	5
344	20	4	5	5	6
345	18	5	5	4	4
346	20	5	6	5	4
347	19	4	4	5	6
348	19	5	5	5	4
349	18	4	5	5	4
350	20	5	6	3	6
351	17	4	4	5	4
352	20	6	3	6	5
353	19	4	7	3	5
354	19	5	3	5	6
355	22	6	5	6	5
356	19	5	4	6	4
357	16	4	5	3	4
358	21	6	5	5	5
359	20	4	6	4	6
360	18	4	4	6	4
361	21	6	6	4	5
362	18	4	4	5	5
363	20	5	5	5	5
364	19	5	4	5	5
365	19	6	5	4	4
366	19	5	5	5	4
367	21	5	5	5	6
368	17	4	5	4	4
369	19	5	5	5	4
370	21	5	5	6	5
371	18	4	4	4	6
372	18	5	5	5	3
373	21	5	5	5	6
374	17	4	5	3	5
375	20	5	3	6	6
376	20	4	7	4	5
377	19	4	4	6	5
378	18	6	4	4	4
379	21	5	5	7	4
380	17	4	5	2	6
381	20	5	5	6	4
382	20	6	4	4	6
383	19	4	5	5	5
384	19	5	5	5	4
385	19	5	5	5	4
386	20	5	5	4	6
387	18	5	4	5	4
388	21	5	5	6	5
389	18	4	6	4	4
390	18	4	3	5	6
391	19	6	5	5	3
392	19	4	6	4	5
393	20	5	6	5	4
394	20	5	4	5	6
395	18	5	5	5	3
396	18	5	4	4	5
397	21	5	5	5	6
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399	19	5	5	5	4
400	19	4	5	5	5
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2985	18	5	4	5	4
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2988	20	6	4	6	4
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2994	20	5	5	5	5
2995	19	6	4	5	4
2996	19	3	6	5	5
2997	18	5	5	4	4
2998	19	6	3	4	5
2999	19	4	6	5	4
3000	17	4	3	5	5
3001	21	5	6	5	5
3002	20	5	5	5	5

The large table shown above, with high values shaded in shades of grey and low values shaded in shades of red, is impossible to describe in detail in words. Nevertheless, some points can be made:

1. the number of potential primes in some centuries is fewer than those of (other) actual centuries between 200 and the “eight-digit gap”:
1. four moduli 3003 have only fifteen potential primes, and forty-six have only sixteen potential primes after numbers divisible by primes up to 13 are removed
2. it is clear than no century can have more then 23 primes based upon divisibility by primes up to 13
1. nonetheless, there are 26 moduli 3003 that could theoretically have 23 primes, yet it is known only 20 possible patterns exist for a 23-prime century per OEIS A261571
3. there are 48 possible moduli 3003 for seven primes ending in each of 1, 3, 7, or 9
4. contrariwise, for primes ending in each of 1, 3, 7, or 9, there are twelve moduli 3003 which yield merely two possible primes ending in each digit, and 188 moduli 3003 which yield merely three possible primes
5. there seems to be a pattern relating n mod (3003) and (3003-n) mod (3003), although this would be very hard to check
6. small centuries often do conform with exceptions based on number of potential primes:
1. for instance, the 22nd century is the first with only ten primes, and has only fifteen potential primes
2. the 187^th, 189^th, 315^th, 696^th and 1560^th centuries all have a record fewest primes for such a small century, and have only seventeen potential primes
3. the 798^th century, the third with only three primes, has only sixteen potential primes
4. however, the 1573^rd century has fifteen primes — the equal most between 23,100 and 783,699 — yet also has only seventeen potential primes
5. the 80563^rd century with seven primes ending in 1 and none ending in 3, has only three potential primes ending in 3 [80562 is congruent to 2484 mod (3003)]

I have not yet checked moduli (3003) for centuries above the “eight-digit gap”, and doing so would be highly arduous because the number of possible moduli is very large. Doing the less cumbersome moduli (21) and (231) did give expected results, and I would not expect a different result with the more accurate moduli (3003).