Monday, 8 September 2025

Centuries by modulo 13#/(2*5) and number of “potential primes”

Ever since I first studied primes, it has been obvious to me that some centuries can have more “potential primes” than others. Based upon simply divisibility by 2, 3, and 5, it is obvious that centuries 100k to 100k+99 can have two more primes if k is of the form 3n+1 than if k is of the forms 3n or 3n+2. However, in the past few years I have learned much more. Firstly, although centuries of the form 3k+1 have 28 numbers not divisible by 2, 3 or 5 — and other centuries have 26 such numbers — it is impossible for there to be 28 primes in 100 numbers, because some of these 28 numbers will always be divisible by 7, 11, or 13. In fact, I learned a few years back that 26 primes in 100 numbers is completely impossible, and that the maximum possible number is no more than 23. So far, no century greater than 200 with 21 or more primes is yet known, and although it is strongly believed they do exist, it is known that the smallest after 199 much be greater than 1023.

One interesting thing when searching for such centuries is that, if one groups them by moduli of the product of larger primes coprime to 10, one can reduce the number of “potential primes” beyond the crude calculations based upon moduli 3. I have recently experimented with moduli 21 (3*7) and 231 (3*7*11) and found that the maximum possible number of primes can be reduced further below 26 or 28. However, the data are difficult to tabulate like one can for the crude modulo 3 calculations that I learned as a child. Today, I have tabulated centuries modulo 3003 (3*7*11*13) to see:
  1. what variation exists among moduli
  2. what patterns one can see in the variations noted in 1)
  3. how the patterns compare with observed prime counts in small centuries
  4. how may primes ending in each digit [1, 3, 7, 9] are theoretically possible for each modulo 3003

Prime Counts mod(3003) — total and for each final digit

mod 3003 Total possible p ...1 ...3 ...7 ...9
0 20 5 5 5 5
1 21 5 5 6 5
2 17 5 5 3 4
3 19 4 5 6 4
4 19 5 4 4 6
5 18 4 4 5 5
6 19 5 5 6 3
7 19 4 5 4 6
8 20 5 5 5 5
9 18 6 3 6 3
10 21 6 6 4 5
11 17 4 5 3 5
12 21 5 4 6 6
13 18 4 5 5 4
14 20 4 6 4 6
15 19 6 5 5 3
16 21 4 5 6 6
17 18 4 5 4 5
18 19 6 4 4 5
19 20 5 5 5 5
20 20 4 5 5 6
21 15 4 5 3 3
22 23 6 6 7 4
23 19 5 5 3 6
24 18 4 3 6 5
25 19 6 5 4 4
26 20 3 6 6 5
27 19 6 3 5 5
28 19 5 4 5 5
29 19 4 6 4 5
30 19 5 5 5 4
31 20 6 4 5 5
32 18 4 4 5 5
33 21 5 5 5 6
34 18 5 5 4 4
35 20 5 4 5 6
36 18 4 5 6 3
37 21 5 5 4 7
38 17 5 6 3 3
39 19 4 4 6 5
40 22 6 6 5 5
41 17 4 4 5 4
42 20 6 5 5 4
43 21 4 5 6 6
44 18 5 5 3 5
45 19 4 5 6 4
46 20 6 5 4 5
47 19 2 5 6 6
48 19 7 4 5 3
49 18 3 6 5 4
50 18 5 4 3 6
51 20 5 5 5 5
52 19 5 4 6 4
53 20 5 6 3 6
54 18 5 3 5 5
55 21 6 5 6 4
56 19 4 5 4 6
57 17 5 5 4 3
58 21 6 4 5 6
59 19 3 6 5 5
60 18 4 4 5 5
61 22 6 6 5 5
62 18 4 4 5 5
63 19 5 5 4 5
64 20 6 5 5 4
65 19 6 5 4 4
66 19 4 5 5 5
67 19 6 4 4 5
68 19 3 6 5 5
69 20 6 5 6 3
70 20 4 4 6 6
71 18 5 4 4 5
72 18 4 5 5 4
73 20 5 6 4 5
74 19 5 4 4 6
75 20 5 4 6 5
76 19 4 6 4 5
77 18 4 5 4 5
78 19 5 4 6 4
79 20 6 4 5 5
80 18 3 6 4 5
81 18 6 3 4 5
82 23 5 6 6 6
83 18 4 4 5 5
84 18 5 6 4 3
85 20 5 4 6 5
86 20 5 6 3 6
87 18 5 4 6 3
88 20 6 5 5 4
89 18 3 5 4 6
90 19 5 4 5 5
91 20 5 5 6 4
92 19 5 6 4 4
93 19 5 4 5 5
94 20 5 5 5 5
95 18 4 5 5 4
96 19 5 5 4 5
97 20 6 4 5 5
98 19 4 4 5 6
99 18 4 6 4 4
100 21 5 4 6 6
101 19 5 6 4 4
102 20 5 4 6 5
103 19 4 6 4 5
104 19 5 4 5 5
105 19 5 5 4 5
106 20 4 5 6 5
107 18 5 6 2 5
108 20 5 4 7 4
109 20 6 5 3 6
110 17 4 4 5 4
111 20 6 4 5 5
112 19 4 6 5 4
113 20 5 4 5 6
114 17 5 4 5 3
115 21 4 6 6 5
116 18 4 5 4 5
117 19 5 4 5 5
118 19 5 4 6 4
119 20 5 6 3 6
120 18 5 5 4 4
121 21 5 4 6 6
122 18 4 6 4 4
123 17 4 3 5 5
124 22 6 5 6 5
125 20 4 5 6 5
126 18 5 4 4 5
127 20 5 5 6 4
128 19 5 5 3 6
129 19 3 5 6 5
130 20 6 6 4 4
131 18 4 5 5 4
132 19 6 4 4 5
133 20 4 5 5 6
134 18 5 4 5 4
135 19 5 5 5 4
136 19 5 4 4 6
137 19 5 5 4 5
138 19 5 5 5 4
139 21 5 6 6 4
140 18 5 4 3 6
141 18 5 4 6 3
142 20 4 5 5 6
143 18 4 6 4 4
144 20 6 3 5 6
145 19 4 6 5 4
146 19 4 4 5 6
147 20 6 5 5 4
148 23 6 6 6 5
149 16 4 4 3 5
150 18 4 5 5 4
151 21 6 5 5 5
152 20 4 5 5 6
153 19 6 4 5 4
154 19 4 5 5 5
155 20 5 6 4 5
156 18 5 3 5 5
157 21 6 5 6 4
158 17 3 6 4 4
159 19 5 4 4 6
160 19 5 5 5 4
161 20 4 5 5 6
162 19 4 6 5 4
163 19 6 3 4 6
164 20 5 6 5 4
165 18 5 3 5 5
166 19 4 6 4 5
167 19 5 3 5 6
168 19 4 6 5 4
169 19 4 4 6 5
170 19 6 5 4 4
171 19 5 4 6 4
172 21 5 6 4 6
173 18 4 5 5 4
174 20 7 4 5 4
175 20 4 6 4 6
176 18 4 5 4 5
177 18 5 4 5 4
178 20 5 6 5 4
179 20 5 4 5 6
180 18 5 3 5 5
181 20 5 6 5 4
182 19 4 5 4 6
183 18 6 5 4 3
184 20 4 5 6 5
185 20 4 7 4 5
186 17 5 3 5 4
187 22 6 6 5 5
188 17 3 4 5 5
189 17 4 5 3 5
190 23 6 5 6 6
191 19 5 5 4 5
192 17 4 3 6 4
193 20 6 5 4 5
194 19 4 6 5 4
195 20 6 4 5 5
196 18 5 4 5 4
197 20 5 5 5 5
198 20 5 5 5 5
199 20 4 5 5 6
200 18 5 4 5 4
201 19 5 5 5 4
202 20 6 5 4 5
203 19 4 5 4 6
204 19 5 5 6 3
205 19 4 5 4 6
206 18 5 5 4 4
207 20 5 4 6 5
208 22 4 6 6 6
209 16 4 4 4 4
210 19 6 4 4 5
211 21 4 6 6 5
212 18 4 5 4 5
213 19 5 4 6 4
214 20 6 5 4 5
215 18 2 5 5 6
216 19 6 5 5 3
217 21 5 5 6 5
218 20 6 5 3 6
219 17 5 3 5 4
220 20 5 5 5 5
221 19 4 6 4 5
222 19 5 4 4 6
223 18 5 4 6 3
224 21 4 6 5 6
225 19 6 5 5 3
226 19 6 3 4 6
227 17 3 6 5 3
228 19 5 4 4 6
229 20 6 6 4 4
230 21 5 5 6 5
231 18 4 5 5 4
232 20 4 5 5 6
233 20 6 5 4 5
234 18 3 4 7 4
235 20 6 4 4 6
236 17 3 5 4 5
237 20 6 5 5 4
238 20 4 5 5 6
239 20 6 5 5 4
240 17 5 4 5 3
241 22 6 5 5 6
242 17 3 5 4 5
243 20 6 3 6 5
244 19 4 6 4 5
245 20 4 5 4 7
246 19 6 5 5 3
247 20 4 4 6 6
248 18 5 6 3 4
249 18 6 3 4 5
250 21 4 6 6 5
251 18 4 4 5 5
252 17 5 5 4 3
253 22 6 5 6 5
254 19 4 5 4 6
255 18 4 4 6 4
256 21 7 5 5 4
257 19 3 6 5 5
258 19 5 4 5 5
259 18 4 5 4 5
260 20 5 6 5 4
261 19 5 4 5 5
262 20 5 4 6 5
263 18 4 5 4 5
264 21 6 5 5 5
265 18 5 4 4 5
266 19 4 5 5 5
267 20 5 6 5 4
268 20 5 5 4 6
269 18 5 5 4 4
270 17 4 3 6 4
271 22 5 7 4 6
272 18 5 4 4 5
273 20 6 5 5 4
274 21 5 5 6 5
275 16 4 5 2 5
276 21 5 5 6 5
277 20 5 5 5 5
278 18 3 4 6 5
279 18 6 4 5 3
280 19 4 5 5 5
281 20 5 5 4 6
282 19 6 4 5 4
283 19 5 5 5 4
284 21 5 6 4 6
285 19 4 4 6 5
286 18 5 4 6 3
287 20 5 6 3 6
288 18 5 4 5 4
289 21 5 4 6 6
290 19 3 6 5 5
291 18 5 4 4 5
292 20 6 5 4 5
293 19 3 5 6 5
294 18 5 6 3 4
295 21 6 5 6 4
296 18 6 4 3 5
297 18 3 4 6 5
298 19 5 5 4 5
299 21 4 6 6 5
300 19 6 4 5 4
301 20 4 5 6 5
302 18 5 5 3 5
303 19 5 5 6 3
304 20 5 5 4 6
305 17 4 4 4 5
306 20 5 4 6 5
307 19 5 6 4 4
308 19 4 4 5 6
309 18 5 4 6 3
310 21 6 5 4 6
311 18 4 6 4 4
312 18 5 3 5 5
313 22 5 6 6 5
314 17 3 5 4 5
315 20 6 6 4 4
316 21 4 5 7 5
317 20 6 5 3 6
318 17 4 4 5 4
319 20 7 4 4 5
320 19 2 6 5 6
321 19 6 4 5 4
322 19 4 6 5 4
323 19 5 5 4 5
324 20 5 4 6 5
325 18 5 4 5 4
326 19 4 6 4 5
327 20 5 4 5 6
328 21 6 5 5 5
329 18 4 4 5 5
330 18 5 6 4 3
331 20 5 3 5 7
332 18 4 5 5 4
333 20 5 4 6 5
334 21 5 6 5 5
335 17 5 3 4 5
336 19 4 5 5 5
337 21 5 6 5 5
338 19 6 6 3 4
339 19 5 4 6 4
340 19 5 5 4 5
341 18 3 5 5 5
342 21 7 4 6 4
343 19 4 5 5 5
344 20 4 5 5 6
345 18 5 5 4 4
346 20 5 6 5 4
347 19 4 4 5 6
348 19 5 5 5 4
349 18 4 5 5 4
350 20 5 6 3 6
351 17 4 4 5 4
352 20 6 3 6 5
353 19 4 7 3 5
354 19 5 3 5 6
355 22 6 5 6 5
356 19 5 4 6 4
357 16 4 5 3 4
358 21 6 5 5 5
359 20 4 6 4 6
360 18 4 4 6 4
361 21 6 6 4 5
362 18 4 4 5 5
363 20 5 5 5 5
364 19 5 4 5 5
365 19 6 5 4 4
366 19 5 5 5 4
367 21 5 5 5 6
368 17 4 5 4 4
369 19 5 5 5 4
370 21 5 5 6 5
371 18 4 4 4 6
372 18 5 5 5 3
373 21 5 5 5 6
374 17 4 5 3 5
375 20 5 3 6 6
376 20 4 7 4 5
377 19 4 4 6 5
378 18 6 4 4 4
379 21 5 5 7 4
380 17 4 5 2 6
381 20 5 5 6 4
382 20 6 4 4 6
383 19 4 5 5 5
384 19 5 5 5 4
385 19 5 5 5 4
386 20 5 5 4 6
387 18 5 4 5 4
388 21 5 5 6 5
389 18 4 6 4 4
390 18 4 3 5 6
391 19 6 5 5 3
392 19 4 6 4 5
393 20 5 6 5 4
394 20 5 4 5 6
395 18 5 5 5 3
396 18 5 4 4 5
397 21 5 5 5 6
398 20 4 4 6 6
399 19 5 5 5 4
400 19 4 5 5 5
401 19 6 5 3 5
402 20 4 5 7 4
403 20 5 6 4 5
404 18 4 5 4 5
405 20 7 3 5 5
406 20 3 6 5 6
407 17 4 5 4 4
408 20 6 4 5 5
409 19 5 5 4 5
410 20 5 4 5 6
411 17 5 4 4 4
412 20 5 6 6 3
413 19 4 4 4 7
414 18 5 5 5 3
415 20 4 5 6 5
416 21 5 7 5 4
417 16 5 2 4 5
418 21 5 5 6 5
419 19 4 5 4 6
420 18 5 5 4 4
421 23 6 5 6 6
422 17 4 5 4 4
423 17 3 4 5 5
424 21 7 5 5 4
425 20 4 5 6 5
426 19 5 4 5 5
427 19 4 5 5 5
428 20 6 5 4 5
429 18 4 4 5 5
430 21 5 6 5 5
431 17 4 5 4 4
432 20 5 5 5 5
433 19 5 4 5 5
434 18 5 4 4 5
435 18 4 6 5 3
436 20 5 4 4 7
437 19 5 6 4 4
438 19 6 3 6 4
439 22 5 7 5 5
440 16 4 3 4 5
441 20 5 5 5 5
442 19 4 5 6 4
443 19 5 5 4 5
444 19 5 4 5 5
445 21 5 6 5 5
446 17 3 4 5 5
447 21 7 5 5 4
448 20 5 5 5 5
449 20 5 5 4 6
450 15 4 4 4 3
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2747 18 4 6 4 4
2748 19 6 4 5 4
2749 22 5 6 5 6
2750 17 3 4 5 5
2751 18 5 5 4 4
2752 21 5 6 6 4
2753 18 5 4 3 6
2754 18 4 3 6 5
2755 20 6 6 4 4
2756 19 3 5 5 6
2757 20 7 4 5 4
2758 19 5 4 6 4
2759 20 5 6 3 6
2760 17 5 4 5 3
2761 22 6 5 5 6
2762 17 3 5 4 5
2763 20 4 5 5 6
2764 20 6 5 5 4
2765 20 4 5 5 6
2766 17 5 4 5 3
2767 20 6 4 4 6
2768 18 4 7 4 3
2769 20 5 4 5 6
2770 20 6 5 5 4
2771 18 4 5 5 4
2772 21 5 6 5 5
2773 20 4 4 6 6
2774 19 6 4 4 5
2775 17 3 5 6 3
2776 19 6 4 3 6
2777 19 3 5 5 6
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2780 19 6 4 4 5
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2789 19 4 6 4 5
2790 18 5 4 5 4
2791 21 5 6 6 4
2792 19 5 4 4 6
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2799 19 6 4 5 4
2800 20 5 4 5 6
2801 19 4 5 5 5
2802 18 4 5 4 5
2803 20 6 5 5 4
2804 20 5 5 5 5
2805 20 5 5 5 5
2806 18 4 5 4 5
2807 20 5 5 4 6
2808 19 4 5 6 4
2809 20 5 4 5 6
2810 17 4 6 3 4
2811 19 5 4 5 5
2812 23 6 6 5 6
2813 17 5 3 5 4
2814 17 5 5 4 3
2815 22 5 5 6 6
2816 17 4 5 3 5
2817 20 5 4 7 4
2818 20 5 6 5 4
2819 18 3 4 5 6
2820 19 6 4 5 4
2821 20 4 5 6 5
2822 18 5 5 3 5
2823 20 6 5 4 5
2824 20 4 5 6 5
2825 18 4 5 4 5
2826 18 5 4 5 4
2827 20 6 4 6 4
2828 20 4 5 4 7
2829 18 4 5 5 4
2830 21 6 4 6 5
2831 19 4 6 4 5
2832 19 4 4 5 6
2833 19 5 6 4 4
2834 19 4 5 6 4
2835 19 6 5 3 5
2836 19 5 4 6 4
2837 18 5 5 3 5
2838 20 4 5 6 5
2839 19 6 4 3 6
2840 19 4 5 6 4
2841 20 6 5 5 4
2842 19 4 5 5 5
2843 19 6 4 4 5
2844 17 4 4 6 3
2845 21 4 6 5 6
2846 18 5 5 3 5
2847 20 5 4 6 5
2848 19 5 5 5 4
2849 19 4 5 4 6
2850 20 6 5 5 4
2851 21 5 5 5 6
2852 18 4 5 5 4
2853 16 5 3 4 4
2854 23 5 6 6 6
2855 20 4 5 5 6
2856 19 6 5 4 4
2857 19 4 5 6 4
2858 20 6 5 3 6
2859 18 4 4 6 4
2860 20 6 5 5 4
2861 18 3 6 4 5
2862 18 6 3 4 5
2863 21 4 6 6 5
2864 19 4 5 5 5
2865 19 5 4 5 5
2866 19 6 4 4 5
2867 19 4 5 5 5
2868 18 4 5 4 5
2869 20 6 5 5 4
2870 19 5 4 4 6
2871 18 4 5 5 4
2872 20 4 4 6 6
2873 19 5 6 5 3
2874 19 6 3 5 5
2875 20 4 6 5 5
2876 18 5 4 4 5
2877 20 5 6 5 4
2878 22 5 6 5 6
2879 17 5 5 3 4
2880 18 4 4 6 4
2881 21 6 6 4 5
2882 18 4 4 5 5
2883 20 6 3 6 5
2884 19 4 6 4 5
2885 19 5 5 4 5
2886 18 5 4 5 4
2887 21 5 6 6 4
2888 17 3 5 4 5
2889 20 6 5 4 5
2890 19 4 5 6 4
2891 20 5 5 4 6
2892 17 4 5 4 4
2893 20 6 3 5 6
2894 20 4 7 4 5
2895 18 5 2 6 5
2896 20 5 6 5 4
2897 19 5 4 5 5
2898 19 5 5 4 5
2899 19 5 4 6 4
2900 20 5 6 4 5
2901 19 4 4 6 5
2902 21 6 6 4 5
2903 18 4 4 6 4
2904 19 6 5 4 4
2905 20 5 5 4 6
2906 19 5 4 5 5
2907 18 4 5 5 4
2908 20 5 5 5 5
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2910 19 4 4 6 5
2911 20 4 6 5 5
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2917 20 5 6 4 5
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2919 18 5 5 4 4
2920 23 6 6 6 5
2921 18 5 4 3 6
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2923 20 5 5 4 6
2924 19 4 6 4 5
2925 18 5 4 5 4
2926 19 5 4 6 4
2927 20 5 6 4 5
2928 19 6 4 4 5
2929 20 5 4 6 5
2930 18 4 5 5 4
2931 18 5 4 4 5
2932 20 6 6 4 4
2933 20 3 6 5 6
2934 19 5 5 6 3
2935 19 5 4 4 6
2936 19 5 5 5 4
2937 19 4 4 5 6
2938 20 4 5 5 6
2939 19 5 4 5 5
2940 18 5 5 4 4
2941 22 5 5 6 6
2942 18 5 5 4 4
2943 19 5 5 6 3
2944 21 6 5 4 6
2945 17 3 4 5 5
2946 19 6 4 5 4
2947 21 4 6 5 6
2948 18 5 5 3 5
2949 20 6 3 6 5
2950 19 4 6 4 5
2951 20 5 5 5 5
2952 18 6 3 4 5
2953 18 4 5 6 3
2954 19 3 5 4 7
2955 19 6 6 5 2
2956 20 5 4 5 6
2957 19 4 6 5 4
2958 18 5 3 5 5
2959 21 6 6 5 4
2960 20 4 5 5 6
2961 17 4 5 4 4
2962 22 5 5 6 6
2963 19 5 6 4 4
2964 17 3 3 6 5
2965 21 7 4 5 5
2966 18 3 6 5 4
2967 20 6 5 4 5
2968 18 4 4 5 5
2969 21 6 5 5 5
2970 18 5 5 4 4
2971 20 5 5 4 6
2972 19 4 5 5 5
2973 19 5 4 6 4
2974 19 5 5 4 5
2975 19 5 5 3 6
2976 20 5 6 6 3
2977 19 4 4 5 6
2978 18 5 6 3 4
2979 19 6 3 5 5
2980 23 4 7 6 6
2981 15 3 3 5 4
2982 20 6 5 5 4
2983 20 5 5 5 5
2984 19 5 4 4 6
2985 18 5 4 5 4
2986 21 6 6 5 4
2987 19 3 5 5 6
2988 20 6 4 6 4
2989 18 4 5 5 4
2990 21 6 6 4 5
2991 17 5 3 5 4
2992 21 4 4 6 6
2993 18 3 6 3 6
2994 20 5 5 5 5
2995 19 6 4 5 4
2996 19 3 6 5 5
2997 18 5 5 4 4
2998 19 6 3 4 5
2999 19 4 6 5 4
3000 17 4 3 5 5
3001 21 5 6 5 5
3002 20 5 5 5 5
The large table shown above, with high values shaded in shades of grey and low values shaded in shades of red, is impossible to describe in detail in words. Nevertheless, some points can be made:
  1. the number of potential primes in some centuries is fewer than those of (other) actual centuries between 200 and the “eight-digit gap”:
    1. four moduli 3003 have only fifteen potential primes, and forty-six have only sixteen potential primes after numbers divisible by primes up to 13 are removed
  2. it is clear than no century can have more then 23 primes based upon divisibility by primes up to 13
    1. nonetheless, there are 26 moduli 3003 that could theoretically have 23 primes, yet it is known only 20 possible patterns exist for a 23-prime century per OEIS A261571
  3. there are 48 possible moduli 3003 for seven primes ending in each of 1, 3, 7, or 9
  4. contrariwise, for primes ending in each of 1, 3, 7, or 9, there are twelve moduli 3003 which yield merely two possible primes ending in each digit, and 188 moduli 3003 which yield merely three possible primes
  5. there seems to be a pattern relating n mod (3003) and (3003-n) mod (3003), although this would be very hard to check
  6. small centuries often do conform with exceptions based on number of potential primes:
    1. for instance, the 22nd century is the first with only ten primes, and has only fifteen potential primes
    2. the 187th, 189th, 315th, 696th and 1560th centuries all have a record fewest primes for such a small century, and have only seventeen potential primes
    3. the 798th century, the third with only three primes, has only sixteen potential primes
    4. however, the 1573rd century has fifteen primes — the equal most between 23,100 and 783,699 — yet also has only seventeen potential primes
    5. the 80563rd century with seven primes ending in 1 and none ending in 3, has only three potential primes ending in 3 [80562 is congruent to 2484 mod (3003)]
I have not yet checked moduli (3003) for centuries above the “eight-digit gap”, and doing so would be highly arduous because the number of possible moduli is very large. Doing the less cumbersome moduli (21) and (231) did give expected results, and I would not expect a different result with the more accurate moduli (3003).

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